195

第十章人口老龄化对总产出的影响

人口老龄化对劳动投入、资本投入以及对技术进步的影响，最终导致人口老

龄化对总产出产生影响。而人口老龄化对总产出的影响，实际上也就是人口老龄

化对经济增长的影响。人口老龄化对经济增长的影响，是人口老龄化影响经济的

至关重要的基础性问题。为此，本章将利用总量生产函数，在总量层面上具体分

析人口老龄化对总产出（经济增长）的影响。

第一节引入老龄化率变量的总量生产函数

总产出是宏观经济层面的产出，体现的是一个国家或地区经济增长的情况。

如在现实经济中，一定国家或地区的 GDP 就是对总产出的实际度量。因此，GDP

增长率也被称为经济增长率。

一、关于总量生产函数

在经济学中，总产出是由总量生产函数决定的。总量生产函数即关于总产

出与生产要素投入关系的数学表达式。生产函数是体现一定生产系统中的产出量

与要素投入量之间关系的数学表达式。

总量生产函数是宏观经济层面的关于总产出的生产函数，是道格拉斯

（Douglas）于 1928 年提出来的。因此，总量生产函数中的产出，对应的是国家

或地区层面上的总产出，在国民经济核算中对应的是地区生产总值，即 GDP。由

于 GDP 是最终产品，即不包括中间产品，因此总量生产函数中是不含有中间投入

的。总量生产函数中的生产要素投入分为两大类，即资本投入与劳动投入。总量

生产函数的一般形式通常写成下面的形式：

),( LKFY



（10-1）

其中，

Y

为总产出，

K

为资本投入，

L

为劳动投入。函数关系 ),( LKF 则体现了

生产的技术关系。

生产函数反映的是由生产技术决定的生产要素投入与产出量之间的关系，

而不是经济行为决定的实际产出量。例如，在一定的生产技术水平下，生产一定

196

的产品需要投入多少的原材料、资本设备、劳动力，以及需要怎样的条件等，都

是由生产这种产品的特定技术性关系决定的，而与该产品的价格及生产者的主观

愿望没有关系。

在经济学中，生产函数（10-1）中的劳动投入

L

，

并不是经济中的劳动力数

量，更不是人口数量，而是实际参加生产活动的劳动力所投入的劳动时间总量。

对此，在前面的有关劳动投入章节中已经进行了较多的论述。生产函数表明，在

一定的生产技术水平下（即生产函数关系既定），产出

Y

的变动将来自

K

与

L

的

变动。

然而，在既定的

K

与

L

的情况下，如果产出随着时间而出现变动，则唯一

可以解释的原因就是生产技术水平出现了变动。这种情况可以表述为生产要素投

入不变，而产出随时间变动而变动。在数学上，这就是产出关于时间的偏导数，

即

T

Y



，或以相对增长率的形式体现为

T

Y



ln

，称

T

Y



ln

为技术进步率。

总量生产函数的出现，同经济增长问题的研究有着密切的关系。直到目前，

对经济增长问题的研究，大部分仍然是建立在总量生产函数基础之上的。由于总

量生产函数对应的是国家或地区层面上的投入与产出关系，因此总量生产函数中

的资本投入与劳动投入都是被高度凝缩化的变量。其中，资本投入是指国家或地

区层面上的生产活动所投入使用的各种工具的总和，即本质是总资本投入的概念。

这里的资本包括生产活动中所使用的机器设备、厂房、土地、计算机等等，这些

都是资本的具体形式。劳动投入是指国家或地区层面上劳动者从事生产活动的时

间总和，即本质是总劳动投入的概念。由于对一个国家或地区而言，土地基本是

不变的，因此土地一般并不作为生产要素投入的变量出现在总量生产函数中。

总产出则是以 GDP 为核心内容的，因此总量生产函数中的产出本质上是一

个国家或地区的总产出概念，而非单一种类产出的概念。根据国民经济核算体系

的内容可知，GDP 的内容包括了近乎无限种类的产品与服务。因此，用一个变量

K

表示资本投入，并不表明总量生产函数中的资本投入是单一种类的资本投入，

而本质上是由众多各种具体资本投入的汇总。

二、关于部门生产函数

同总量生产函数相对应的是部门生产函数，即指产业部门层次上的生产函

197

数。部门生产函数与总量生产函数的最大区别是，部门生产函数包括中间投入，

而总量生产函数不包含中间投入。部门生产函数的生产要素投入一般分为三大类，

即资本投入、劳动投入和中间投入。部门生产函数通常写成下面的形式：

),,( XLKFY



。（10-2）

其中，

Y

为产出，

K

为资本投入，

L

为劳动投入，

X

为中间投入。

提出部门生产函数的必要性，是因为仅基于总量生产函数进行经济增长根

源的分析，无法识别产业发展与产业结构变动对经济增长的影响，而产业发展是

推动经济增长的直接动力。事实上，经济增长并不是直接表现为总产出的增长，

而是首先表现为各产业的增长。总量增加值是各产业增加值之和。而利用总量生

产函数的分析，实际上要求或者说隐含着各产业部门的增加值函数都是完全相同

的，而且对于各产业部门的劳动和资本投入之间的技术关系也必须是完全相同的。

这些情况实际上容易导致基于总量生产函数分析经济增长根源时产生不当甚至

是误判性的结论。

鉴于总量生产函数存在的诸多局限性，产业部门的产出增长问题应该通过

部门生产函数进行。部门层次产出增长的根源是基于把部门产出的增长率分解为

中间投入、资本和劳动投入以及部门全要素生产率增长率的贡献之和。其中，部

门的中间投入的差别往往是导致部门产出差别的主要原因。因此，对部门产出的

问题研究，中间投入通常是至关重要的变量，而不能忽视的。由于本章讨论的主

题是总量层面的经济增长与人口老龄化的关系，因此本章内容的研究是建立在总

量生产函数基础之上的，而没有涉及部门生产函数问题。

三、加入老龄化率变量的劳动投入表达式

人口老龄化的变动，是通过老龄化率

R



的变动体现的。因此，老龄化率

R



的变动如何影响

K

与

L

，进而影响总产出

Y

的变动，这是定量分析人口老龄化影

响经济增长的一种重要途径。

总产出的增长即经济增长，是总产出变动与时间变量有关的概念。因此，为

了体现时间的因素，可以将（10-1）式的总量生产函数所隐含的时间显现表示。

即，将资本投入、劳动投入分别表示为 )(TK 、 )(TL 的形式，其中

T

表示时间。

198

因此，体现时间的总量生产函数的一般形式亦可表示为下面的形式：

]);(),([)( TTLTKFTY



（10-3）

在第一章的讨论中已经知道，经济中的人口可划分为未成年人口、劳动年来

人口和老年人口三类群体，因此总人口是这三类人口之和。劳动投入 )(TL 是同劳

动年龄人口 )(TN

L

有密切关系的，而 )(TN

L

表示为下面的表达式：



L

N N

YR

)1(



 [第一章（1-17）式]

L

N 是 )(TN

L

的简写形式。其中，

Y



为未成年人口占总人口的比重，

R



为是老年

人口占总人口的比重。

在第七章中已经讨论了劳动年龄人口和劳动投入的区别和联系。在理论上，

当忽略劳动年龄人口和劳动力的差异时，并假设劳动者同质时，包括劳动时间一

致时，可以直接用劳动年龄人口替代劳动投入。如第七章的（7-12）式所表示的

关系式：



L

NL N

YR

)1(



 [第七章（7-12）式]

由于本书的关注点在于分析人口老龄化因素的作用效应，因此为讨论方便

与突出重点，在下面的讨论中暂时忽略未成年人口的因素，而仅考虑由劳动年龄

人口和老年人口所构成的人口。而在实际有关测算时，可另行处理未成年人口的

因素。实际上，未成年人也是需要由劳动力供养的人口，因此在一定程度上未成

年人口可视为是老年人口的一部分，因此暂时忽略未成年人口的因素而得出的结

论，并不会对分析人口老龄化效应有系统性的影响。

因此，在忽略未成年人口之后，一定社会中的总人口 N 由老年人口

R

N 和劳

动年龄人口

L

N 组成，即在时间

T

时有下面关系成立：

)()()( TNTNTN

RL



（10-4）

现实中，如前面已经讨论过的，劳动年龄人口同劳动力是有区别的。但是，

劳动投入来源于劳动力，而劳动年龄人口是劳动力的主要来源。因此，为了讨论

问题的方便，在下面的讨论中暂以劳动年龄人口作为劳动投入的表示。即，有下

面的假设：

199

)()( TNTL

L



这样的假设，并不影响人口老龄化对总产出作用效应的本质。于是，在考虑

到人口老龄化因素后，劳动投入

L

和劳动年龄人口 )(TN

L

可以表示为下面的关系

式：

)()( TNTL

L

 )()](1[ TNT

R



 （10-5）

其中 )(T

R



为老年人口比重， )(TN 为总人口。这里再次强调，（10-5）式只是核

算式，而不是决定劳动年龄人口的内生决定式。即，不是先有总人口，再由劳动

年龄人口比重，由此决定由多少劳动年龄人口。事实上，是未成年人口、劳动年

龄人口和老年人口共同决定了总人口的数量。因此，对（10-5）式的理解是：在

既定的总人口数量为 )(TN 情况下，不同的老年人口比重所对应的劳动年龄人口

数量情况。

将（10-5）式带入总量生产函数（10-3），即得到下面形式的总量生产函数：

});()](1[),({)( TTNTTKFTY

R



 （10-6）

因此，（10-6）式是劳动投入中加入了老龄化率变量的总量生产函数表达式。注

意，在（10-6）式中还没有考虑资本投入 )(TK 中加入老龄化率变量的因素。这

一问题在下面讨论中解决。

四、隐含老龄化率变量的资本投入关系式

在第七章中已经论述了人口老龄化影响资本配置的效应。即，人口老龄化程

度的提高，有降低资本积累和投资水平的效应，而这种效应必然引发总产出的变

动。因此，人口老龄化因素可以通过资本投入而对总产出产生影响。

然而，直到目前，上述论述的人口老龄化通过劳动要素和资本要素对总产出

的影响，依然还是定性的。在（10-6）式的总量生产函数中，还并没有体现出人

口老龄化因素与资本投入

K

之间的关系。因此，为了分析人口老龄化通过对资本

投入的渠道而影响总产出，需要建立资本投入

K

与老龄化率

R



的关系式。

根据第八章（8-15）式的结果，因人口老龄化对产出的配置有影响，使得

)(TY

L

部分成为劳动力可支配的资源，剩余的 )()( TYTY

RR



 部分是配置给老年

200

人的资源。其中 )(TY

L

的表达式如下：

)](1)[()( TTYTY

RL



 [第八章（8-15）式]

（10-7）

由（10-7）式可以看到，当养老系数水平



保持不变时，总产出 )(TY 中配置

给劳动力部分的 )(TY

L

将由老龄化率变量

R



决定。假定老年人对其养老资源

)(TY

R

不再进行储蓄而全部用于消费。因此，经济中只能对 )(TY

L

部分进行生产性

投资。（10-7）式表明，如果老龄化率变量

R



提高将导致 )(TY

L

下降，这便是人

口老龄化对资本投入的影响。也就是说，在考虑人口老龄化因素后，可以配置给

劳动力的资源部分是 )(TY

L

，而不再是全部的产出 )(TY 。 )(TY

L

用于劳动力的消

费和储蓄。由于已经假设老年人口在退休期不再进行储蓄，因此设劳动力的储蓄

率为

s

，于是经济中的投资量为

)()( TKTsY

dT

dK

I

L



 [第八章（8-16）式]

可见，在考虑人口老龄化对资本配置的影响后，总量生产函数中的资本投入

K

是与人口老龄化因素有关的变量，即

K

与老龄化率

R



有关。于是，将（10-7）

式体现的 )(TY

L

代入（8-16）式，即有下面的关系式：

)()]()([ TKTYTYs

dT

dK

I

R



 （10-8）

其中

s

是劳动力的储蓄率，即是不包括老年人口的储蓄率。

（8-16）式和（10-8）式实际上都是

K

关于

T

的微分方程。因此，（8-16）

式和（10-8）式中的

K

与老龄化率

R



之间不是直接显现的关系。或者说，（8-16）

式和（10-8）式中的

K

与

R



是隐函数的关系。若要直接表现

K

与

R



的关系，则

需要求解该微分方程。由于直到目前总量生产函数 )(TY 的函数还不是具体的，因

此目前是无法求解这个微分方程的。但是，如果对（8-16）式的微分方程求解，

得到的关于

K

的解中必定含有参数

R



。因此，

K

与

R



之间的关系可以抽象地表

示为下面的形式：

201

)]([()( TKTK

R



 （或简写成 )(

R

KK



 ）（10-9）

于是，（10-9）式可以作为隐含老龄化率变量的资本投入关系式。其中（10-9）

式中的

K

是微分方程（10-8）的解。

五、包含老龄化率变量的总量生产函数

通过以上的分析，同时将包括有老龄化率变量

R



的劳动投入（10-7）式和

资本投入（10-9）式代入总量生产函数，即可以得到包含老龄化率变量的总量生

产函数，即：

});()](1[)],([{)( TTNTTKFTY

RR



 （10-10）

在（10-10）式中， )()](1[ TNT

R



 体现的是劳动投入， )]([ TK

R



体现的是资本

投入，这两类投入表达式中均含有老龄化率变量

R



。（10-10）式可以分解为下

面的方程组形式：















)()](1[

)]([

);,(

TNTL

TKK

TLKFY

R



其中， )]([ TK

R



由微分方程（10-8）的解决定。（10-10）式表现的包含老龄

化率变量

R



的总量生产函数，为定量分析人口老龄化对总产出的影响，或者说

分析人口老龄化与经济增长的关系，提供了重要的研究工具基础。

第二节老龄化率通过劳动投入影响总产出的分析

本节先暂不考虑人口老龄化因素对资本配置的影响，以简化分析的复杂性。

即，先单纯地分析人口老龄化因素通过对劳动投入影响总产出的情况。而在下一

节，再考虑人口老龄化因素通过资本投入对总产出的影响。

分析的核心目的，是分析老龄化率

R



对（10-10）式的总量生产函数 )(TY 有

怎样的影响。为此，需要具体计算

R

Y



ln



的结果。显然，

R

Y



ln



的意义是总产

出关于

R



的弹性系数，体现

R



的变动对总产出

Y

的影响

。在此需要明确的是，

202

对人口老龄化因素影响总产出的考察，是在既定的总人口的情况下进行的。即，

考察总人口一定，而不同人口老龄化程度下的产出情况。

一、定性的逻辑判断

首先从逻辑方面进行定性的判断，即判断人口老龄化变量

R



对总产出 )(TY

的影响。如果只关注

R



对总产出 )(TY 的影响，则可以将除了

R



之外的其他变量

暂时固定下来。而对于既定的时间

T

，总人口 )(TN 是既定的。

因此，在既定的总人口之下，如果老龄化率

R



水平越高，则根据（10-5）

式知，劳动投入水平

L

越低。再由总量生产函数可知，如果劳动投入水平越低，

则在总量生产函数既定情况下，对应的总产出水平将越低。于是，按此逻辑可以

得出的基本判断是：人口老龄化水平越高，在其他条件不变的情况下，总产出水

平相应越低。可见，人口老龄化因素通过对劳动投入而产生的对总产出的影响是

负向的。

二、对

R

Y



ln



的计算

老龄化率变量

R



对总产出

Y

的影响，在数学上是可用

R

Y





体现。而

R

Y



ln



的意义是总产出

Y

关于老龄化率

R



的弹性系数。由于假设了

K

不受

R



的影响，

因此 0



R

K



。现对（10-10）式求

R



的偏导数，得到下面的表达式：

R

d

Nd

L

Y

NKF

Y



)1())1(,( 













即

])1([

R

d

dN

N

L

YY











（10-11）

由于总人口 N 对老年人口比重

R



而言是既定的。即，总人口 N 不是由老年

203

人口比重

R



决定的

，

因此 0

R

d

dN



。于是，（10-11）式的结果为下面的表达式：

N

L

YY

R









（10-12）

对（10-12）变形得到下面的表达式：

N

L

Y

R









即

L

N

L

YY

R



ln







即

N

L

YY

R

)1(ln

ln











因此

L

Y

L

YY

RR

R

ln

11

1

ln

1ln

ln



















（10-13）

（10-13）式便是计算

R

Y



ln



的结果。下面对（10-13）式的结果进行具体

的分析。

三、结果分析

注意到在（10-13）式中，

R

Y



ln



为总产出

Y

关于

R



的弹性，而其中的

L

Y

ln



为总产出

Y

关于劳动投入

L

的弹性。由于 10 

R



，因此 0)1( 

R



，从而得到

0

1





R



成立。于是，可以得出（10-13）式中

L

Y

ln



前面的系数 0

1





R



的

结论。

由于

L

Y

ln



为劳动产出弹性，通常是大于零的。因此，由根据（10-13）式可

204

以得出的结论是： 0

ln





R

Y



。即，总产出

Y

关于老龄化率

R



的弹性系数为负。

这一结果的经济意义是：老龄化率水平提高，将产生降低总产出水平的效应。

同时，

R

Y



ln



的绝对值为

L

Y

R

ln

11

1







。其中，

11

1



R



为关于

R



的增函

数。因此，在劳动产出弹性系数

L

Y

ln



为既定的情况下，

R



提高则意味着

R

Y



ln



的绝对值越大。这表明人口老龄化程度越高，其对总产出的负向影响越大。

例如，当假设一个社会中的 65 岁以上年龄人口比重为 14%，14 岁以下未成

年人口比重为 18%。为了利用公式（10-13）计算，需要将则 14 岁以下未成年人

口视为老年人口的一部分，即 

R



0.14+0.18=0.32=32%。假设劳动产出弹性系数

为 0.4，即 



L

Y

ln

0.4。于是，按（10-13）式可以计算出 



R

Y



ln

0.188。这

一结果表明，在老龄化率为 32%（视未成年人为老年人）的情况下，人口老龄化

程度提高 1%，可以产生降低 0.188%的产出效应。

如果 65 岁以上年龄人口比重为 20%，14 岁以下未成年人口比重依然为 18%。

则 

R



0.20+0.18=0.38=38%。假设劳动产出弹性系数依然为 0.4，即 



L

Y

ln

0.4。

于是，按（10-13）式可以计算出 



R

Y



ln

0.275。可见，在人口老龄化水平进

一步提高的情况，人口老龄化程度提高 1%，可以产生降低 0.275%的产出效应。

这表明随着人口老龄化程度提高，每单位老年人口比重的上升所产生的降低总产

出的效应越大。

总之，以上的定量分析的结论表明，在忽略人口老龄化对资本投入的效应

时，人口老龄化因素通过对劳动投入而对总产出的影响是负向的，而且人口老龄

化程度越高，其对总产出的负向影响越大。

第三节老龄化率通过资本投入影响总产出的分析

为了更接近于现实情况，本节不再忽略人口老龄化因素对资本投入的影响。

即，设定人口老龄化对劳动投入和资本配置均产生影响，从而人口老龄化因素既

205

通过劳动投入，也通过资本投入对总产出产生影响。总量生产函数依然采用（10-

10）的形式，即

)}()](1[)],([{)( TNTTKFTY

RR





为了在下面的计算过程中书写的简便性，在不影响理解的情况下将有关变

量略去不写，如对 )(TY 只写为

Y

，对 )]([ TK

R



只写为

K

，等等。

一、考虑人口老龄化对资本配置影响情况下的

R

Y



ln



计算

由于考虑到资本受到人口老龄化因素的影响，这时

R

d

dK



不再为零。首先对

（10-10）式计算

R

Y





，即得到下面的表达式：

RRR

d

dL

L

F

d

dK

K

FY













（10-14）

在（10-14）中，

R

d

dK



体现的是老龄化率变量

R



对资本

K

的影响。而资本

K

与投资有关，投资

I

由（10-8）式表示，即：

)()]()([ TKTYTYs

dT

dK

I

R





即，

dT

dK

为投资。同时，

R



也是时间

T

的函数，

dT

d

R



存在且其意义是老龄

化率

R



关于时间

T

的变化率。因此，有下面关系式成立：

K

R

d

dK

dT

d

dT

dK



 （10-15）

因此，可将（10-15）式中的

K

d

dK



的表达式代入（10-14）式，即得到下面

的关系式：

R

d

dL

L

F

dT

d

dT

dK

K

FY













)( （10-16）

206

而

N

d

Nd

d

dL

R









)1(

因此，（10-16）式实际为下面的表达式：

N

L

F

dT

d

dT

dK

K

FY

R













（10-17）

对（10-17）式可以进行下面的变换：

N

L

F

YdT

d

dT

dK

K

F

Y

RRR

R















ln

L

N

L

Y

dT

d

KdT

dK

K

YY

R











 lnln

ln



L

N

L

Y

dT

d

KdT

dK

K

YY

R

ln













N

L

Y

dT

d

dT

Kd

K

YY

R

)1(ln

lnln

ln















L

Y

dT

d

dT

Kd

K

YY

R

ln

1

ln

1ln

ln













（10-18）

这时，根据（10-8）式： KYYs

dT

dK

R



 )( ，可对（10-8）式其进行下

面的变换：









K

YYs

KdT

dK

R

)(





K

Y

s

dT

Kd

R

)1(

ln

（10-19）

于是，可将（10-19）式代入（10-18）式，得：

L

Y

K

Y

K

Y

s

dT

d

Y

R

ln

1ln

ln

])1([

ln

1

ln

















（10-20）

（10-20）式便是所需要的

R

Y



ln



的表达式。注意到（10-20）式中的储蓄

207

率

s

是劳动力的储蓄率，第八章（8-19）式表明

s

为下面的表达式：

R

s









1

[第八章（8-19）式]

其中 s



为国民储蓄率。将上述

s

的表达式带入（10-20）式，得到下面的表达

式：

L

Y

K

Y

K

Y

s

dT

d

Y

R

ln

1ln

ln

][

ln

1

ln





















（10-21）

（10-21）式表明，国民储蓄率 s



同老龄化率的关系是重要的问题，即涉

及老龄化率对国民储蓄率是正向影响，还是负向影响的关系。而关于国民储蓄

率同人口老龄化的关系，将在第十四章进行讨论。为了上述讨论有明确的结

果，这里先直接引用第十四章的研究结论，即第十四章（14-13）式的公式如

下：

L

R

y

c

y

c

s

RL

 1

[第十四章（14-13）式]

在（14-13）式中，

s

是国民储蓄率，即就是（10-21）式中的 s



。

L

c 为劳动

力的人均消费水平，

R

c 为老年人口的人均消费水平，

y

为劳动力的人均产出水平，

R

为老年人口数量，

L

为劳动力数量。因此，

L

R

体现了人口结构。对

L

R

可以进行

如下的变换：

11

1

1)1( 











RR

R

N

L

R





（10-22）

将（10-22）代入（14-13）式，得到下面的表达式：

11

1







R

RL

y

c

y

c

s



（10-23）

将（10-23）代入（10-21）式，得到下面的表达式：

L

Y

K

Y

K

Y

y

c

y

c

dT

d

Y

R

RL

R

ln

1ln

ln

])

11

1

1[(

ln

1

ln



















10-24）

208

下面对（10-24）式表现的

R

Y



ln



的表达式，进行必要的解释。

二、对

R

Y



ln



表达式的解释

在（10-24）式中，

dT

d

R



ln

是老龄化率

R



的增长率。在人口老龄化不断提高

的背景下，老龄化率

R



的增长率为正数是符合实际的情况。因此，这里可以假定







dT

d

R

ln

为大于零的常数。在（10-24）式中，

K

Y

ln



和

L

Y

ln



分别是产出关于

资本和产出关于劳动的弹性系数。在生产函数理论中，这些弹性系数通常被视为

常数。特别是在规模收益不变的情况下，二者弹性系数之和为 1。于是，分别记

a

K

Y





ln

； b

L

Y





ln

。这里仅假定

a

和b 是大于零的常数。

在（10-24）式中同时还有

K

Y

项，该项可以写成

Y

K

1 的形式。

Y

K

的意义是一

定宏观经济中资本水平和产出水平的比率，而该比率在经济学中有着特别的解释。

卡尔多

①

(Kaldor,1961 年)描述过经济增长的几个主要特征事实 (stylized

facts)，他发现对于大多工业化国家而言，在过去一个世纪中，劳动、资本、产

出的增长率大体都是常数，从而资本-产出比近似都是常数。即，基于早期的现

实经济中的数据经验表明，一个国家或地区的资本水平与产出水平的比率大体是

常数，即

Y

K

大体是常数。在多数国家，

Y

K

的值大约在 2～3 左右，比如美国的资

本存量大约是年度 GDP 的 2.5 倍

②

。这里可以放宽

Y

K

为常数的假设，仅假定

K

Y

与

老龄化率

R



没有关系。于是，可以记





K

Y

是与

R



无关的值。

因此，根据上面的分析与设定，这时的（10-24）式可写成下面的形式：

ba

K

Y

y

c

y

c

Y

R

RL

R

















1

])

11

1

1[(

1

ln

（10-25）

或表示为下面的形式：

①

戴维•罗默[美]：《高级宏观经济学》，商务印书馆 1999 版，第 22 页。

②

Mankiw：Macroeconomics, Worth Publishers 出版社 1994 年版，第 103 页。

209

11

1

)()1(

ln







R

RL

R

a

y

c

b

aa

y

c

Y















（10-26）

三、基本结论分析

在（10-25）式中，等号左边为

R

Y



ln



，意义是总产出关于老龄化率的弹性

系数。而（10-21）式右边是具体表达式，并且可以看到在等号右边的表达式中

只有

R



是变量，其他变量都是可以视为固定或不变的常数。

可见看到，（10-25）式可以分别两个部分，即





LK

Y

R





ln

（10-27）

其中，



K 和



L 分别为下面的表达式：

a

y

c

y

c

K

R

RL

])

11

1

1[(

1











（10-28）

bL

R

11

1







（10-29）

可见，



K 体现的是老龄化率通过资本投入影响产出弹性的部分，



L 体现的

是老龄化率通过劳动投入影响产出弹性的部分。由（10-28）式可以得出的结论

是，当老龄化率

R



提高时，



K 将趋于变小，即



K 是关于老龄化率

R



减函数。

同样，



L 也是老龄化率

R



的减函数。因此，总的结论是：总产出关于老龄化率

的弹性系数

R

Y



ln



是老龄化率

R



的减函数。

上述分析的基本结论是：老龄化率对总产出是负向影响关系，且人口老龄化

水平越高，对产出的负向影响幅度越大。一方面，老龄化率提高，产生降低资本

积累水平效应，即降低资本投入；另一方面，老龄化率提高，也产生降低劳动投

入效应。因此，老龄化率提高的最终结果是降低总产出水平。总产出关于老龄化

率的弹性系数由（10-21）式表示，而老龄化率对总产出关于老龄化率的弹性系

数的影响有（10-23）式表示。

210

第四节经济增长率与老龄化率的关系公式

经济增长率是度量经济增长的一个重要指标。因此，本节旨在建立经济增长

率与老龄化率之间的关系公式。由此可以利用此公式进行人口老龄化影响经济增

长的有关测算工作。

一、经济增长率与老龄化率关系公式的推导

总量生产函数采用（10-10）式的形式，即：

});()](1[)],([{)( TTNTTKFTY

RR





对（10-10）式的总量生产函数求时间

T

的导数，得到下面的表达式：

T

Y

dT

dL

L

Y

dT

dK

K

Y

dT

dY













由于

dT

dN

dT

d

N

dt

dL

R

)1(





以及

)()]()([ TKTYTYs

dt

dK

I

R





于是

T

Y

dT

dN

dT

d

N

L

Y

KYYs

K

Y

dT

dY

R











 ])1([])([





进一步整理得：

T

Y

dT

dN

dT

d

N

L

Y

KsY

K

Y

dT

Yd

R













ln

])1([

ln

])([

lnln





T

Y

NLdT

dN

LdT

d

NL

L

Y

K

sY

K

Y

dT

Yd

R

RR















ln

])1([

ln

]

)1(

[

lnln







T

Y

dT

Nd

dT

d

L

N

L

Y

K

sY

K

Y

dT

Yd

R

RR















ln

]

ln

)1([

ln

]

)1(

[

ln

lnln







由于

K

Y

ln



和

L

Y

ln



分别是产出关于资本和产出关于劳动的弹性系数。在生

产函数理论中，这些弹性系数通常被视为常数，分别记 a

K

Y





ln

和 b

L

Y





ln

，

211

其中

a

和b 是大于零的常数。而

dT

Nd ln

为总人口增长率，记 n

dT

Nd



ln

。因此，上

面

dT

Yd ln

的表达式可以简写为下面的形式：

T

Y

n

dT

d

L

N

b

K

sY

a

dT

Yd

R

RR









ln

])1([]

)1(

[

ln







（10-30）

而由于

L

N

可以写成下面的形式：

RRR

NNNN

N

L

N















1

（10-31）

因此，将（10-31）式代入（10-30）式，由此（10-30）式变为下面的表达式：

T

Y

dT

d

nb

K

Y

sa

dT

Yd

R









ln

]

ln

1

[])1([

ln





（10-32）

根据上一节的讨论知，





K

Y

是与

R



无关的值；

dT

d

R



ln

为老龄化率增长率。

在人口老龄化不断提高的背景下，老龄化率

R



的增长率为正数是符合实际的情

况。因此，为了简化分析，这里假设老龄化率

R



的变动是正的某一常数进行的。

因此，可以假定







dT

d

R

ln

为大于零的常数。于是，（10-32）式可以写成下面的

形式：

T

Y

nbsa

dT

Yd

R









ln

])

1

1([])1([

ln







（10-33）

在（10-33）式中，

dT

Yd ln

为总产出增长率，即经济增长率。

T

Y



ln

为技术进

步率。（10-33）式即是经济增长率与老龄化率的关系公式。

二、利用关系公式的分析

现在分析（10-33）式的总产出增长率

dT

Yd ln

与老龄化率

R



的单调性关系。

为了书写方便，记

dT

Yd

y

ln

 ，

T

Y

y

A





ln

。于是（10-33）式可以写成下面的形

式：

212

A

R

ynbsay 



 ])

1

1([])1([







（10-34）

在（10-34）式中，由于



、b 、

a

、

s

、



、



等都是大于零的值，且与老

龄化率

R



无关。为了便于论述，对（10-34）式中有关项作如下的标记：

R

E



 1 （10-35）

R

F







1

1 （10-36）

因此，（10-34）式变为下面的形式：

A

yFnbsEay  ][)(



（10-37）

如果老龄化率

R



增大，通过（10-35）式可见

E

将减小，

F

也减小。这表明，

如果不考虑

A

y 所受老龄化率

R



的影响问题，通过（10-37）式可见，当老龄化率

R



增大时，将得出经济增长率将减小的结论。

总之，在不考虑人口老龄化对技术进步率的影响情况下，由以上分析得到的

基本结论是：人口老龄化程度的提高，将产生降低经济增长率的效应。特别是公

式（10-37）式提供了测算人口老龄化对经济增长潜力的重要理论基础。