1
关于弹性分析
一般而言，对于函数
)(xfy
，称
y
dx
dy
为函数
)(xfy
关于
x
的相对变化率。但是，
y
dx
dy
实际上度量的是当
x
有一个绝对数
量的变化
dx
时，相应的函数值的相对变化率。在有些时候，这
种度量会存在问题。例如，对于售价为每辆 10 万元的汽车，
考虑 1 元钱的价格变动对汽车需求的影响是没有意义的；但
对于价格为 2 元一斤的牛奶而言，1 元钱的价格上涨而对牛奶
需求的影响肯定是深刻的。原因在于，在前者情况中 1 元的价
格变动占 10 万元价格水平的 0.001%；而后者情况中 1 元的价
格变动占 1 元的价格水平的 50%。这表明，在度量函数值相对
变化时，同样需要考虑自变量本身的相对变化，而不是绝对数
量的变化。
对于函数
)(xfy
，自变量本身的相对变化率可视为是
x
y
的相对变化率。因此按定义，自变量本身的相对变化率
为
x
dx
dx
，而
x
dx
dx
1
。于是，有如下的定义：对于函数
)(xfy
，
2
函数值
y
的相对变化率
y
dx
dy
，与自变量
x
的相对变化率
x
dx
dx
的比率，称为函数
y
关于
x
的弹性。
用
x
e
表示弹性，即：




(1)
对(1)式进行简化与变形，可以得到不同的弹性表达式。首
先，由于
y
x
xf
y
x
dx
dy
x
y
dx
dy
)(
1
由此得到
x
e
的第一种表现形式：
y
x
xf
y
x
dx
dy
e
x
)(
(2)
（2）式可变换为下面的形式：
x
dx
y
dy
dx
x
y
dy
于是得到
x
e
的第二种表现形式：
3
x
dx
y
dy
e
x
(3)
又因为下面关系式成立：
xd
yd
x
dx
y
dy
ln
ln
于是得到
x
e
的第三种表现形式：
x
d
yd
e
x
ln
ln
(4)
如果
y
和
x
都是时间
t
的函数，则
x
x
y
y
xdt
dx
ydt
dy
x
dx
y
dy
在经济学中，变量关于时间的导数，习惯上表示为该变量
的上方加一个点，如 的表现形式。按增长率的定义知道，
y
y
和
x
x
是相对增长率。因此可见，两个变量的增长率之比就是弹
性。于是得到
x
e
的第四种表现形式：
x
x
y
y
e
x
(5)
归纳如下，可以得到常用的
y
关于
x
的弹性
x
e
的四种表达
4
式：
（1）
y
x
xfe
x
)(
；
（2）
x
dx
y
dy
e
x
；
（3）
x
d
yd
e
x
ln
ln
；
（4）
x
x
y
y
e
x
上述
y
关于
x
的弹性
x
e
的不同表现形式，实际应用中具有
不同的用处和方便性。例如，对于 C-D 函数
L
AK
Y
，取两边
的对数得
LKCY lnlnln
(6)
于是根据上面
y
关于
x
的弹性
x
e
的第三个表现形式，知道
就
是
Y
关于
K
的弹性，
就是
Y
关于
L
的弹性。因为根据(6)式很
容易看出：
K
d
Yd
e
K
ln
ln
；
L
d
Yd
e
L
ln
ln
由此可以对一般的对数线性方程
nn
AaAaAaaY lnlnlnln
22110
5
i
Aln
前的系数
i
a
（
ni ,,2,1
）就是
Y
关于
i
A
的弹性。而根据第四
个弹性表达式(5)知道，两个变量增长率之比就是弹性。
同样，如果
y
是多元函数时，相应有偏弹性（
partial
elasticity）的概念。例如，对如下的多元函数
),,,(
21 n
xxxfy
(7)
定义
y
关于
i
x
的偏弹性为
),,,(
21 n
i
i
x
xxxf
x
x
f
e
i
(8)
(8)式的含义可近似看成是当
i
x
增长 1%时，而导致
y
变动
的百分数，其中在这个过程中
j
x
（
i
j
）保持不变。
李军